3D 프로그래밍 <기본수학 벡터>

3D란? --------------------------------------------------------------------------------------------------

일단 3D에 대해서 이해해봅시다. 

THREE DIMENSIONS;

3D란 축이 3개가 존재하는 차원을 의미한다. 1차원은 점, 2차원은 선, 3차원은 면으로 이루어졌다고 생각하는 것이 아니라. 

서로 수직인 축을 기준으로 하여 하나의 면이 이루어 진다고 보면 된다.

수학적으로 봤을때 차원은 축이라는 개념으로 볼수 있다. 혹은 숫자로 표현할수 있는 하나의 행 또는 열로 표현이 가능하다.

컴퓨터는 수치를 통해서 연산을 처리하고 3차원은 3개의 축을 가진 공간으로 표현할 수 있다.

왼손좌표계 오른손 좌표계? ------------------------------------------------------------------------------------------

위에서 말한 내용을 세개의 축을 이미지를 통해서 확인해 보자. 

우리가 바라보는 방향을 생각했을때 왼손 좌표계는 Z축이 앞으로 전진한다고 생각하면 된다.

오른손 좌표계는 그 반대이다. Z축이 나를 향한다면 오른손 좌표계 이다.

벡터란? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

크기와 방향을 동시에 가진 값.

2차원 평면상의 점 P가 찍혀있다고 생각해보자. 

원점을 기준으로 했을때 하나의 선분이 점 P방향으로 X만큼 우측으로 이동하고 있고 Y만큼 상승하고 있다는 것을 알 수가 있다.

이는 점 P가 원점을 기준으로한 방향을 가지고 있다고 볼 수 있다.

그리고 하나의 점이 원점에서 부터 X만큼 Y만큼 크기를 가지고 이동하고 있다고 표현할수 있다.

방향과 크기를 동시에 가지고 있다고 할 수 있다.

그리고 2차원의 벡터에 Z축을 하나더 추가하면 3차원읠 벡터를 표시할 수 있다. 

이 벡터는 원점을 기준으로 X Y Z의 방향과 크기를 가지고 있다.

벡터의 상등 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

벡터는 방향과 크기를 나타내는 개념이다. 

그렇다면 방향과 크기가 같지만 다른 벡터가 존재할 수 있을까?

존재할수 있지만 그 벡터는 서로 상등하다고 본다. 

방향과 크기가 같은 다른 벡터를 보고 상등한다고 표현한다.

위에서 보면 AB와 CD의 두개의 벡터가 존재한다. 두개의 백터는 상등하는 벡터이다.

출발점이 다른데 어떻게 같나요 라고 물어본다면...

다시한번 말하지만 벡터는 방향과 크기를 나타내는 개념이다.

현재로서는 벡터는 위치를 나타내는 개념이 아니다! 라고 이해해야 한다.

벡터의 크기계산 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

기하학적으로 벡터는 크기와 방향을 가진 선분의 길이다. 

벡터의 성분(X,Y,Z)가 주어졌다고 할 때 다음과 같은 식을 이용해 벡터의 크기를 구할수 있다.

벡터의 정규화 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

벡터의 정규화란 벡터의 크기를 1로 만들어 단위 벡터가 되도록 만드는 것을 의미한다.

다음과 같이 벡터의 각 성분을 벡터의 크기로 나누면 정규화가 된다.

벡터의 더하기 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

크기와 방향을 더한다고 해서 어렵게 생각하지 말자. 

벡터의 덧셈에는 다양한 방법이 있지만 일반적으로 사용되는 방법을 확인해보자.

두개의 벡터의 시점과 종점을 연결하면 새롭게 하나의 벡터가 생겨나는게 그 벡터의 방향과 크기가 두벡터의 방향과 크기이다.

벡터의 뺄샘 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

이번에는 반대로 뺄셈에 대해서 알아보자. 

두개의 백터의 뺄셈은 뒤에있는 백터가 앞에있는 벡터를 바라보는 벡터를 구할 수 있게 된다.

즉 백터 A와 B가 있고 A-B일때

B의 종점에서 A의 종점을 바라보는 방향을 얻을수 있다.

벡터의 스칼라 곱 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

UV에 대한 속성을 곱할때 사용하는 값으로.

각 성분에 특정 수치를 더하는 것을 스칼라 곱이라고 하며 그때 곱하는 값이 음수면 벡터의 방향이 뒤집히게 된다.

10, 20, 30 의 수치를 가진 벡터가 존재할 때. 0.5를 곱하면 5, 10, 15의 수치를 가진 벡터가 나오게 된다고 생각하면 된다.

벡터의 내적 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

내적은 벡터의 곱셈방식중 하나이며, U●V로 표시되며 두 벡터 간의 내적이 벡터 크기 배율을 가진 벡터 간 각도의 코사인임을 할수가 있다.

백터의 내적은 매우 중요한 연산이므로 꼭 기억해 놓도록 해야한다.

벡터의 외적 ------------------------------------------------------------------------------------------------------

스칼라로 계산되는 스칼라곱, 내적과 달리 백터의 외적은 UXV로 표시되며 두 벡터에 수직인 벡터가 나오게 된다. 

즉 두개의 백터와 새로운 백터는 3차원 상으로 보면 90도 수직에 위치하게 된다.